§ 10.  ОБОБЩЕНИЕ И УТОЧНЕНИЕ НЬЮТОНОМ ЗАКОНОВ КЕПЛЕРА

1. Закон всемирного тяготения. Напомним известную из курса физики формулировку закона всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль ко­торой прямо пропорционален произведению их масс и об­ратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения записывается в виде:

 

                                                                                                                 (16)

где т1 и т2 — массы тел; r — расстояние между их цен­трами; G — постоянная всемирного тяготения (ее значение в СИ  G= 6,67·10-11 Н·м2/кг2).

Из физики вы знаете, что гравитация — общее свойство всех тел в природе. Исключительно важную роль она играет в мире небесных тел; ею объясняются не только почти все движения, но и многие процессы, связанные с образованием и развитием небесных тел. Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные тела, то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос, какая сила удерживает планеты около Солнца, спутники около планет и т. д.

Раздел астрономии, исследующий движения небесных тел под действием их взаимного притяжения, называется небесной механикой. Законы Кеплера и закон всемирного тяготения — основные законы небесной меха­ники.

2. Возмущения. Открытие Нептуна. Строго эллиптиче­ское движение происходит под действием притяжения одного тела. Но любая планета испытывает притяжение со стороны других планет, своих спутников и т. д. В резуль­тате возникают отклонения от эллиптической траектории, которые называются в небесной механике возмущениями.

Исаак Ньютон

Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн были из­вестнылюдям с глубокой древности. Мысль о том, что наша Земля — тоже планета Солнечной системы, впервые была научно обоснована Н. Коперником. Планету, находя­щуюся за орбитой Сатурна и не видимую невооруженным глазом, открыл в1781 г. с помощью телескопа английский астроном (профессиональный музыкант, который начал зани­маться астрономией как любитель) Уильям Гершель (1738— 1822). Она была названа Ураном. Основываясь на законах небесной механики, астрономы вычислили орбиту Урана, но довольно скоро выяснилось, что в движении новой планеты заметны отклонения от кеплеровской орбиты. Наблюдаемые отклонения могли означать либо то, что действие закона всемирного тяготения ограничено лишь близкими плане­тами, либо то, что за Ураном есть еще какая-нибудь пла­нета, возмущающая его движение. Сделав именно это, вто­рое предположение, астрономы решили попытаться открыть новую планету, вычислив ее положение в пространстве. Не­зависимо друг от друга такую задачу удалось решить двум молодым математикам — англичанину Джону Адамсу (1819—1892) и французу Урбену Леверье (1811—1877). Астроном Берлинской обсерватории Иоганн Галле (1812— 1910), получив телеграмму от Леверье с просьбой поискать планету в указанном месте, 23 сентября1846 г. обнаружил в созвездии Водолея светило, которого не было на звездной карте. Так была открыта восьмая планета Солнечной си­стемы, названная Нептуном. Это был триумф небесной ме­ханики, торжество гелиоцентрической системы. Девятую планету Солнечной системы — Плутон — удалось открыть лишь в1930 г.

3. Законы Кеплера в формулировке Ньютона. Как вы уже знаете, Кеплер открыл свои законы эмпирическим пу­тем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Он доказал, что под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к дру­гому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный Ньютоном закон Ке­плера. Он имеет универсальный характер и справедлив для любых тел, между которыми действует взаимное тяготение. Ему подчиняется и движение искусственных небесных тел. Напомним, что форма орбиты зависит от модуля и направ­ления начальной скорости (рис. 23).

Рис. 23. Зависимость формы орбиты искусственного небесного тела от начальной скорости υо.  

Орбиты при различных начальных скоростях (векторы скоростей во всех случаях направлены горизонтально, т.е. перпендикулярно радиусу Земли):  1 — круговая (υо=7,9 км/с);  2,3,4 — эллиптические (υо соответственно равны 10,0 км/с, 11,0 км/с, 11,1 км/с);  5 — параболическая  о≈11,2 км/с); 6 — гипер-болическая (υо≈12,0 км/с).

Формулировка второго закона Кеплера не потребовала обобщения.

Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел. Если, в частности, массивным (центральным) телом является Солнце, то для него и двух движущихся вокруг него планет третий закон Кеплера будет иметь вид:

 

                               (17)

 

т. е. квадраты сидерических периодов планет (  и  ), умноженные на сумму масс Солнца и планеты (  и  ), относятся как кубы больших полуосей орбит планет ( и ).

Можно применить третий закон Кеплера и к другим си­стемам, например к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Обозначим массы Солнца, пла­неты и ее спутника соответственно через , т и m1 пери­оды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты — через Tи Т1 и, наконец, средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты — через а и ах Тогда третий закон Кеплера можно записать в виде:

 

 

Масса Солнца во много раз больше массы любой из пла­нет, т. е. » т. Масса планеты обычно также очень ве­лика по сравнению с массой спутника (исключение состав­ляют Земля и Луна, а также Плутон с его спутником Хароном), т. е. т » m1.  Поэтому с достаточной степенью точности можно вычислить отношение массы Солнца к массе планеты по формуле:

 

                                                                                                       (18)

 

Формула (18) была получена из рассмотрения движения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Анало­гичный вид будет иметь формула для определения массы планеты (имеющей спутника!), если эту систему небесных тел сравнить с другой планетой и ее спутником:

 

                                                                                                      (18')

 

где  и  — соответственно массы сравниваемых планет;  и  — периоды обращения спутников планет; а' и  — средние расстояния между спутниками планет ипланетами.

Пример 5. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио) совершает оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от Юпитера.

Для решения задачи сравним обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли   примем за единицу (т. е.  =  = 1), период обращения Луны 27,32 сут ( = 27,32д — такое обозначение для су­ток принято в астрономии), а среднее расстояние Луны от Земли 384 тыс. км.